为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，$O$为圆心，半径为一个单位，现规划在$\triangle OCD$区域种花，在$\triangle OBD$区域养殖观赏鱼，若$\angle AOC=\angle COD$，且使四边形$OCDB$面积最大，则$\cos \angle AOC=\_\_\_\_\_\_.$

设$\angle AOC=\angle COD=\alpha (0 \lt \alpha\ \ \lt \frac{π}{2})$，

因为$OC=OB=OD=1$，

所以四边形$OCDB$的面积$S=\frac{1}{2}×1×1×sinα+\frac{1}{2}×1×1×sin(2π-2α)=\frac{1}{2}(sin2α+sinα)$，

$S′=\frac{1}{2}(2cos2α+cosα)=\frac{1}{2}(4co{s}^{2}α+cosα-1)$，

令${S'}=0$，解得$cosα=\frac{-\sqrt{33}-1}{8}$或$cosα=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$，

即$α=arccos\frac{\sqrt{33}-1}{8}$，

又$\cos \alpha $在$(0$，$\frac{π}{2})$上单调递减，

所以当$α∈(0，arccos\frac{\sqrt{33}-1}{8})$，即$\cos \alpha \in (\frac{\sqrt{33}-1}{8}$，$1)$时，$S$单调递减，

当$\alpha \in (\arccos \frac{\sqrt{33}-1}{8}$，$\frac{π}{2}$），即$\cos \alpha \in (0$，$\frac{\sqrt{33}-1}{8})$时，$S$单调递增，

所以当$\cos \angle AOC=\frac{\sqrt{33}-1}{8}$时，四边形$OCDB$的面积最大.

故答案为：$\frac{\sqrt{33}-1}{8}$.